Please login or register.

Login with username, password and session length

Author Topic: Các Phương Pháp Giải Phương Trình  (Read 139592 times)

23 Tháng Mười, 2007, 01:03:55 PM
  • Cựu thành viên BĐH
  • ***
  • Posts: 23
  • Điểm bài viết: 1
Mình xin lập topic này để mọi người cùng học và trao đổi về các cách giải phương trình
« Last Edit: 25 Tháng Mười, 2007, 01:44:02 PM by nang_trong_dem_90 »

24 Tháng Mười, 2007, 03:32:14 PM
Reply #1
  • Cựu thành viên BĐH
  • ***
  • Posts: 23
  • Điểm bài viết: 1
I, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3  
 - Phương trình bậc 3 là 1 trong các dạng của phương bậc lẻ, nó luôn có ít nhất 1 nghiệm và có nhiều nhất là 3 nghiệm
 - Phương trình bậc 3 có dạng tổng quát : ax3 + bx2 + cx + d = 0
==> Pt <=> f(x) = x3 + Bx2 + Cx + D = 0
**Có thể phân tích thành nhân tử ==> nghiệm của phương trình
** Phương trình này có tâm đối xứng là điểm uốn của nó I(-b/3a,f(-b/3a))  .Dùng phương pháp đổi trục :
\left{\begin{x=X+x_I}\\{y=Y+y_I , ta biến đổi thu được 1 phương trình bậc 3 mới : g(X) = X3 + pX +q = 0. Đây là 1 dạng pt có thể giải được :
1, Trường hợp p>0:-Ta có g'(X) = 3X2 + p > 0 => pt có 1 nghiệm
-Áp dụng hằng đẳng thức sau :
  a3 + b3 +c3 - 3abc = (a +b +c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc).Đặt a=X
=>ta tìm b,c sao thỏa hệ:
        \left{\begin{-3bc=p}\\{b^3+c^3=q 
Khi đó ta sẽ tìm được nghiệm pt X=a= -(b+c).
* Ta xét 1 ví dụ sau : giải pt : x3 + 3x +1 =0
 \Rightarrow \left{\begin{-3bc=3}\\{b^3+c^3=1   =>\left{\begin{c=-1/b\\{b^3-\frac{1}{b^3}=1
=> b, c là nghiệm của pt :t^6-t^3-1=0( vì b, c có vai trò như nhau)
=>t3=(1+ \sqrt{5})/2 =>b = \sqrt[3]{\frac{1+sqrt{5}}{2}, c = \sqrt[3]{\frac{1-sqrt{5}}{2}
=>x = -(b+c) = -(\sqrt[3]{\frac{1+sqrt{5}}{2} + \sqrt[3]{\frac{1-sqrt{5}}{2}))
2, Trường hợp p<0 :  Cách 1 :
-Ta có thể dùng phương pháp lượng giác hoá như sau: đặt X=2acost, (có thể đặt theo sint) với a>0 , t thuộc [0,
\RightarrowPT <=> 8a3cos3t + 2apcost + q = 0
         <=> 2a3(4cos3t + p/a2cost) + q = 0
Tìm a thỏa  p/a2 = -3  => a=\sqrt{-p/3}
\Rightarrow 2a3cos3t = -q
 \Rightarrow cos3t = \frac{-q}{2a^3}.
*Qua đó ta thấy điều kiện để áp dụng được cách này là -1 <\frac{-q}{2a^3}< 1  <=> -1 <\frac{-q}{2\sqrt{-p^3/27}}< 1
* Ví dụ : Giải phương trình : x3 - 3x -1 =0
Theo như cách đặt trên thì ta có a=1
=> cos3t= 1/2 => t=20
=> x= 2cos 20^ \circ (đây mới là 1 nghiệm ,với t thuộc khoảng cho trước ta có thể tìm ra các nghiệm còn lại nếu có)
 Cách 2 :
- Ta có thể dùng lại cách ở trường hợp 1, song ở cả 2 cách này có trường hợp không chỉ ra được nghiệm thực của bài toán
« Last Edit: 01 Tháng Mười Hai, 2007, 02:52:32 PM by nang_trong_dem_90 »

18 Tháng Mười Một, 2007, 05:48:58 PM
Reply #2
  • Mod box Toán
  • Cựu thành viên BĐH
  • ***
  • Posts: 138
  • Điểm bài viết: 1

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Phương trình bậc bốn có khá nhiều dạng đặc biệt, nhưng có thể giải tổng quát như sau :

x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Đặt x = t - b/4
pt trở thành : x4 = Ax2 + Bx + C
Cộng 2 vế cho 2ax2 + a2 (a là một số thực)
pt ↔ x4 + 2ax2 + a2 = (2a + A)x2 + Bx + C + a2

Ta thấy vế trái có dạng (x2 + a)2, do đó ta sẽ chọn a sao cho vế phải cũng có dạng bình phương một nhị thức :
Xét vế phải là tam thức bậc hai theo x
Δ = B2 - 4(2a + A)(C + a2) = 0 : đây là pt bậc 3 theo a nên chắc chắn có nghiệm thực (chọn a một giá trị)

Lúc đó, ta sẽ có pt: (x2 + a)2 = Y2
Đây là công thức Ferrari (Theo Minh Tuấn )
**Lưu ý : nhiều trường hợp B=0 ta có thể có ngay phương trình trùng phương
« Last Edit: 24 Tháng Một, 2008, 12:00:17 AM by minhrichard »

16 Tháng Mười Hai, 2007, 10:44:45 AM
Reply #3
  • Cựu thành viên BĐH
  • ***
  • Posts: 23
  • Điểm bài viết: 1
CÔNG THỨC CACĐANÔ:
công thức biểu diễn nghiệm của phương trình bậc ba:
x3 + px + q = 0 ( * )
qua các hệ số của nó. Mọi phương trình bậc ba tổng quát a0y3 + a1y2 + a2y + a3 = 0, a0 ≠ 0 đều có thể đưa về dạng ( * ) nhờ phép đổi ẩn số CTC được viết như sau:
trong đó mỗi căn thức bậc ba ở vế sau có ba giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trị có tích bằng  để cộng với nhau. Công thức mang tên của nhà toán học Italia Cacđanô (G. Cardano).

« Last Edit: 01 Tháng Tư, 2008, 03:44:12 AM by vigro_luv_olim »

22 Tháng Một, 2008, 01:57:52 PM
Reply #4
  • Trưởng ban Ngoại Giao
  • Mod trưởng
  • ****
  • Posts: 2910
  • Điểm bài viết: 70
  • Ban thanh thiếu niên (VTV6)
    • Trần Quang Sơn
x^4-mx^3+(m+1)x^2-mx+1=0
<=>x^4+x^2+1-mx(x^2-x+1)=0
<=>(x^4+2x^2+1)-x^2-mx(x^2-x+1)=0
<=>(x^2+x+1)(x^2-x+1)-mx(x^2-x+1)=0
<=>(x^2-x+1)(x^2+x-mx+1)=0
Điều kiện có nghiệm của phương trình là (1-m)^2-4>=0
<=>m^2-2m-3 >=0
<=>(m+1)(m-3)>=0
<=>m>=3 hoặc m<=-1

« Last Edit: 22 Tháng Một, 2008, 02:03:56 PM by quangson »

25 Tháng Một, 2008, 08:58:33 AM
Reply #5
  • Thành viên OlympiaVN
  • **
  • Posts: 14
  • Điểm bài viết: 1
  • Astatin
    • Andy's Site

19 Tháng Sáu, 2008, 08:46:58 PM
Reply #6
  • Guest
cho em hỏi cái y thì nó thay vào đâu( cái pt bậc 3 áh) đặt y= Y + yI

10 Tháng Bảy, 2008, 08:21:48 AM
Reply #7
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 732
  • Điểm bài viết: 30
  • Hà Mã Olym
Thay trực tiếp vào phương trình đầu bạn ạ, cả với x nữa.
Còn phương trình x^3+px+q có công thức nghiệm tổng quát rồi :D

16 Tháng Bảy, 2008, 09:22:46 AM
Reply #8
  • Guest
các bạn có thể giải phương trình chứa căn thức rất hay trong web tạp chí toan học tuổi trẻ

17 Tháng Bảy, 2008, 01:45:04 PM
Reply #9
  • Mod box G3T
  • Thành viên OlympiaVN
  • **
  • Posts: 1080
  • Điểm bài viết: 52
  • Nhớ xì goòng :)
Bạn nào ở HP hoặc có dịp về chơi HP tớ tặng quyển Giải phương trình và hệ phương trình của trường ĐHKHTN lưu hành nội bộ hồi năm 2006. Quyển ấy hay lắm :)

17 Tháng Bảy, 2008, 01:59:41 PM
Reply #10
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 732
  • Điểm bài viết: 30
  • Hà Mã Olym
:-O
Dung có quyển ý á :D/
Quyển ý hồi trước tớ lùng mãi mà ở Phú Thọ không có
Tớ xí phần được không ;;)

17 Tháng Bảy, 2008, 02:26:18 PM
Reply #11
  • Mod box G3T
  • Thành viên OlympiaVN
  • **
  • Posts: 1080
  • Điểm bài viết: 52
  • Nhớ xì goòng :)
Ừ, hồi cách đây 2 năm giáo viên khối chuyên KHTN với cả giảng viên KHTN viết 2 quyển là quyển Giải phương trình, quyển 2 nói về Bất đẳng thức. Hồi đó đi học thêm ở đấy nên các thầy phát miễn phí, thầy Lương bảo chỉ lưu hành nội bộ nên bên ngoài không bán. Quyển bất đẳng thức tớ tặng thầy dạy toán lớp 10, chỉ còn quyển này thôi. Trong đó tổng hợp hết tất cả các dạng bài+phương pháp giải phương trình, do thầy Lương+thầy Hùng biên soạn mà lị :D/
Khi nào gặp tớ tặng cậu :)

12 Tháng Bảy, 2009, 03:34:08 PM
Reply #12
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 17
  • Điểm bài viết: 1
anh(chị) ơi cho em hỏi chút được không ạ?
em không hiểu lắm. Từ pt ban đầu  x3 - 3x -1 =0
biến đổi được phương trình  X3 - 3X -3 =0( x = X+ 1)
Thế thì các điều kiện đó không được thoả mãn, và cuối cùng nếu em tiếp tục đặt X=2cost
thì giải ra cos3t= 3/2
em làm theo hướng dẫn và không thấy mình sai ở đâu cả?
cả bài trên nữa em không rõ lắm.
Rất mong anh(chị ) chỉ giáo giúp, em xin chân thành cảm ơn...
« Last Edit: 15 Tháng Bảy, 2009, 11:23:25 AM by phamthihien »

15 Tháng Bảy, 2009, 10:07:34 AM
Reply #13
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 17
  • Điểm bài viết: 1
anh chị ơi ở trường hợp p < 0 em tưởng phải xét 2 trường hợp chứ?
khi /q/ < 1 thì mới đặt X = 2a cost  được chứ ạ?
nếu nó >1 thì phải đặt khác mà.
« Last Edit: 15 Tháng Bảy, 2009, 11:23:00 AM by phamthihien »

15 Tháng Bảy, 2009, 10:14:48 AM
Reply #14
  • Thành viên box Hóa
  • Cựu thành viên BĐH
  • ***
  • Posts: 1414
  • Điểm bài viết: 208
  • Mọi tam giác đều là tam giác cân
*Qua đó ta thấy điều kiện để áp dụng được cách này là -1 <\frac{-q}{2a^3}< 1  <=> -1 <\frac{-q}{2\sqrt{-p^3/27}}< 1
Bạn nên đọc kĩ bài viết, và đừng trích dẫn nguyên bài như thế. Chỉ cần trích dẫn những câu liên quan thôi.
Nếu |q/2a3| > 1 ta dùng lại cách ở trường hợp 1.