Please login or register.

Login with username, password and session length

Author Topic: Các phương pháp giải hệ phương trình  (Read 113286 times)

15 Tháng Ba, 2010, 12:06:20 PM
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 449
  • Điểm bài viết: 49
    • A3's blog
Mình sẽ tổng hợp các phương pháp giải các loại hệ phương trình trong topic này
Đầu tiên là hệ phương trình bậc hai
Dạng 1: Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn
\left{\begin{ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0(1)}\\{Ax+By+C=0(2)}
Ta lựa chọn 1 trong 2 cách sau
Cách 1:(Phương pháp thế)
Từ phương trình (2) rút x hoặc y rồi thế vào phương trình (1) khi đó ta được phương trình bậc 2 theo x hoặc y.
Giải phương trình trên và tìm được nghiệm
Cách 2(Phương pháp đồ thị)
Trong hệ trục tọa độ Oxy xét các đường
(C)ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 là đường cong bậc 2
(d)Ax+By+C=0 là phương trình đường thẳng
Sau đó dựa vào vị trí tương đối của (C) và(d) để giải yêu cầu của bài toán

Sau đây là 1 số ví dụ áp dụng
1)\left{\begin{x^2+4y^2=8}\\{x+2y=m}
a)Giải hệ với m=4
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
2)Giải hệ \left{\begin{9x^2+4y^2=36}\\{2x+y=5}

15 Tháng Ba, 2010, 12:12:35 PM
Reply #1
  • Team OCR
  • Thành viên OlympiaVN
  • **
  • Posts: 499
  • Điểm bài viết: 77
  • ^^!
    • quần áo trẻ em
À, theo em còn 1 phương pháp nữa là phân tích cái phương trình (1) về dạng tích của 2 phương trình bậc nhất. Sau đó kết hợp với phương trình thứ  2 :) . Về cách phân tích thì chỉ nên áp dụng khi nó phân tích được dưới dạng đẹp đẹp chút :l> , cách phân tích thì có thể đưa về phương trình bậc 2 ẩn x hoặc y với y hoặc x là tham số :)

15 Tháng Ba, 2010, 12:16:38 PM
Reply #2
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 449
  • Điểm bài viết: 49
    • A3's blog
Dạng 2: Hệ đối xứng loại I
Đối với hệ này ta thường giải bằng phương pháp
\left{\begin{x+y=S}\\{xy=P} ,Điều kiện S^2\geq 4P
Sau khi tìm được S,P thì x, y là nghiệm phương trình
X^2-SX+P=0
Ngoài ra ta còn có thể  sử dụng nhiều phương pháp khác như
1.Phương pháp thế nếu hệ đối xứng loại I có 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc 2
2.Phương pháp đồ thị
3.Phương pháp điều kiện cần và đủ: Áp dụng hiệu quả khi hệ yêu cầu tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
B1:Điều kiện cần Nhận xét rằng nếu(x_0,y_0) là nghiệm thì (y_0,x_0) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì x_0=y_0.Thay vào hệ ta được giá trị tham số
B2:Điều kiện đủ: Thay m vào hệ kiểm tra xem hệ có nghiệm duy nhất hay không


Thử 1 vài bài nha
\left{\begin{x^2+y^2=m}\\{x+y=6}
1.Giải hệ với m=26
2.Tìm m để hệ vô nghiệm
3.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
4.Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt

15 Tháng Ba, 2010, 12:40:25 PM
Reply #3
  • Team OCR
  • Thành viên OlympiaVN
  • **
  • Posts: 499
  • Điểm bài viết: 77
  • ^^!
    • quần áo trẻ em
Hệ phương trình đẳng cấp
Cách giải:
B1: Xét riêng trường hợp x=0 hoặc y=0
B2: Khi x khác 0, đặt y=kx, hoặc y khác 0 thì đặt x=ky rồi thế vào hệ, chia vế các phương trình rồi giải ra k, tìm x,y.

Ví dụ hệ này nhé:
\left{\begin{x^2 - 3xy + y^2 =-1}(1)\\{3x^2 - xy +3y^2 = 13}(2)
Giải:
+ Với x=0 thay vào ta có y^2 = -1 => x=0 không thỏa mãn
+ Với x khác 0
Đặt y=kx, hệ phương trình trở thành

\left{\begin{x^2 - 3kx^2 + t^2.x^2 =-1}\\{3x^2 - t.x^2 + 3t^2.x^2 = 13}

<=> \left{\begin{x^2(1 - 3t + t^2) =-1}(3)\\{x^2( 3 - t + 3t^2) = 13} (4)

Chia theo vế (3) cho (4) ta có
3t^2 - t + 3 khác 0
16t^2 - 40t + 16 = 0

<=> t=2 hoặc t=1/2

Sau đó thay vào 1 trong 2 phương trình (3) hoặc (4) tìm x rồi tìm y :)
Kquả: (x;y) = (1;2), (-1;-2), (1/2;1), (-1/2;-1)

Thử ;)

\left{\begin{3x^2 - 5xy - 4y^2 =-3}\\{9y^2 + 11xy - 8x^2 = 6}


« Last Edit: 15 Tháng Ba, 2010, 05:06:57 PM by haiyen »

15 Tháng Ba, 2010, 03:12:24 PM
Reply #4
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 220
  • Điểm bài viết: 13
  • Tái xuất giang hồ!
@ haiyen: như thế cũng ổn rồi em chỉ cần sửa 1 tẹo nữa cho dễ nhìn hơn. Trước khi đặt y=tx hoặc x=ty.  Chúng ta nên nhân hệ số vào hai phương trình rồi cộng 2 phương trình lại sao cho mất hết số tự do và đưa về phương trình dạng: Ax^2+Bxy+Cy^2=0 .
Chú ý là trong giải pt, bpt, hpt, hbpt rất ngại sử dụng phép chia.
« Last Edit: 15 Tháng Ba, 2010, 05:50:36 PM by alien_mars_3000 »

15 Tháng Ba, 2010, 05:49:52 PM
Reply #5
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 449
  • Điểm bài viết: 49
    • A3's blog
Dạng III: Hệ đối xứng loại II
Trừ hai vế của hệ ta thu được (x-y)f(x-y)=0\Leftrightarrow x=y hoặc f(x,y)=0
Ngoài ra còn có thể sử dụng các phương pháp
1.PP đồ thị
2.PP điều kiện cần và đủ: (giống hệ đối xứng loại I)

Ví dụ:1) Cho hệ\left{\begin{x=y^2-y+m}\\{y=x^2-x+m}
a.Giải hệ với m=0
b.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
c.Tìm m để hệ có nghiệm
2)Giải biện luận hệ \left{\begin{x^2+2xy=mx+y}\\{y^2+2xy=my+x}

18 Tháng Mười Một, 2010, 01:48:02 PM
Reply #6
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 3
  • Điểm bài viết: 1

07 Tháng Mười Hai, 2010, 09:49:43 AM
Reply #7
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 22
  • Điểm bài viết: 0
thế nếu dùng đồ thị biện luận số nghiệm của hệ pt có được không

01 Tháng Ba, 2011, 12:46:21 PM
Reply #8
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 6
  • Điểm bài viết: 0
    • Nguyễn Đức Hưng
thế nếu dùng đồ thị biện luận số nghiệm của hệ pt có được không
hoàn toàn được nhưng việc vẽ được đồ thị của các đường phức tạp thì rất khó khăn đấy bạn à

03 Tháng Ba, 2011, 08:59:26 AM
Reply #9
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 22
  • Điểm bài viết: 0