Author Topic: Khảo sát hàm số (Read 63994 times)

{S}trange{R} · « *Last Edit: 06 Tháng Hai, 2010, 11:01:54 AM by bsb101* »

Thảo luận các vấn đề về khảo sát hàm số nhé

@ Đây là bsb101

Những vấn đề cơ bản thì mọi người xem Hải Yến tóm tắt ở dưới , mình chỉ nói về 1 phương pháp biện luận mà mọi người hay quên (có mình

) , đó là cách tính tham số m theo ẩn x và đưa về khảo sát hàm số m theo x

(mình gọi là thế

)

Biện luận theo m để phương trình có nghiệm trên khoảng $(a,b)$ , hoặc hàm số đồng biến trên $(a;b)$

Cách 1: Đưa về phương trình bậc hai , hoặc khảo sát hàm số thông thường

-Cách này cần xét khá nhiều trường hợp ; nhưng khi kết luận thì kết quả thường có sự trùng lặp ; khá dài và dễ sai

Cách 2: Dồn ẩn , tính tham số theo ẩn
-Sau khi đưa về biện luận phương trình ,thường khi tham số m chỉ là bậc nhất

, dồn ẩn $x$ và tính $m$ theo $x$ để khảo sát hàm số đó trên $(a;b)$ , lập miền giá trị của $m$

Ví dụ: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

$x^4 -(m-1)x^2 +3x^2 -(m-1)x +1 =0$ (phương trình đối xứng bậc 4 quen thuộc )

Giải: Theo Cách 2:Đưa về pt bậc 2 ẩn $t=x+ \frac{1}{x}$ (với $|t| \ge 2$ )

$t^2 - (m-1)t +1 =0$
Phương trình <=> $m= t+ \frac{1}{t}\ +1$
Đặt $f(t) =t+ \frac{1}{t}\ +1$

$f'(t) = 1-\frac{1}{t^2}\ >0$ với mọi $t \ge ; t\le -2$ => hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng $(-\inft;-2] va [2;\inft)$
Lập bảng biến thiên ; được miền giá trị của m .
Tính $f(-2) = -\frac{3}{2} ; f(2) =\frac{7}{2}$
=> $m\ge \frac{7}{2}$ hoặc $m\le \frac{-3}{2}$

Theo Cách 1 (của lớp 9) pt: $t^2 - (m-1)t +1 =0$ với $|t| \ge 2$

$\Delta =(m-1)^2 -4 \ge 0<=> m\ge 3 or m\le -1$

Xét 2 trường hợp
TH1 $\frac{m-1}{2}\ge 2$ hoặc $\frac{m-1}{2}\le -2$ <=> $m\ge 5 ; m\le -3$

Khi đó đồ thị hàm số có đỉnh ngoài $(-2;2)$ ; $\Delta >0$ => pt luôn có nghiệm t thỏa mãn

TH2: $-2\le\frac{m-1}{2}\le 2$ Lập bảng biến thiên trên $(-\inft;-2] va [2;\inft)$
Tính $f(-2)=2m+3 ; f(2) = 7-2m$

Để pt có nghiệm thì $\left[\begin{2m+3<0}\\7-2m<0\$ $<br /><=>\left[\begin{m\le -\frac{3}{2}\\m\ge \frac{7}{2}$

Nhận xét nè Cách 1 quen từ hồi lớp 9 nên nhiều khi quen tay làm theo ; gặp những bài dài và mệt thì không ổn lắm . Lớp 12 nên làm theo cách 2

.Hôm sau có thêm ví dụ

haiyen

Em cũng đang học phần này nên tham gia với nhé

Một số kiến thức cơ bản trước mà ai cũng biết

Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, tiến hành các bước
- Tìm tập xác định
- Nêu tính chất đặc biệt của hàm số (nếu có) như: hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.
- Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số
+ Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên: Gồm: tìm đạo hàm, xét dấu, ......
- Vẽ đồ thị:
+ Vẽ hệ trục toạ độ Đề các vuông góc
+ Xác định các điểm đặc biệt: cực trị, điểm uốn, giao điểm với Ox, Oy
+ Vẽ các đường tiệm cận, trục đối xứng (nếu có)
+ Dựa vào bảng biến thiên và các điểm, đường đã xác định để vẽ đồ thị.
---> Nhận xét về đồ thị

Một số hàm số thường gặp
1. Hàm số $y= ax^2 + bx + c$ (a khác 0)
* Tập xác định :R
* Đồ thị là một (P) có đỉnh $S(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$ , trục đối xứng $(d): x= -\frac{b}{2a}$
* Ngoài ra có thể gặp các hàm số đưa về hàm số bậc 2

2. Hàm số $y= ax^3 + bx^2 +cx + d = 0$ (a khác 0 ) (C)
* Tập xác định :R
* $y' = 3ax^2 + 2bx + c$
-Nếu $\Delta' = b^2-3ac > 0$ thì có một cực đại và một cực tiểu
-Nếu $\Delta' = b^2-3ac \leq 0$ thì (C) không có cực trị
* $y'' = 6ax + 2b$ => Đồ thị có điểm uốn I với $x_1 = -\frac{b}{3a}$ Đây chính là tâm đối xứng của đồ thị

* Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị
3. Hàm bậc 4 trùng phương có dạng: $y=ax^4 + bx^2 + c =0$ (a khác 0) (C)
* Tập xác định :R
Hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng
* $y'= 2x(2ax^2 + b)$
$y'' = 12ax^2 + 2b$
Nếu ab>0 thì hàm số có một cực trị tại $x=0$ và không có điểm uốn
Nếu ab<0 thì hàm số có 3 cực trị tại $x=0$ , $x= sqrt{-\frac{b}{2a}}$ , $x= -sqrt{-\frac{b}{2a}}$ và có 2 điểm uốn tại $x = sqrt{\frac{-b}{6}}$ và $x = -sqrt{\frac{-b}{6}}$
4. Hàm số nhất biến có dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ (H)
a) Nếu $c = 0$ và d khác 0 thì $(H): y = \frac{ax+b}{d}$ là đường thẳng
b) Nếu c khác 0 thì hàm số $(H): y=\frac{ax+b}{cx+d}$
* Tập xác định : $R\{-\frac{d}{c}}$
* $y' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}$
- Nếu ad-bc khác 0 thì (H) có tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng $x=-frac{d}{c}$
Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận $I(-\frac{d}{c};\frac{a}{c})$
- Nếu $ad-bc = 0$ thì $(H)$ là đường thẳng khuyết:
$y=\frac{a}{c}$ (hay $\frac{b}{d}$ với $x$ khác $\frac{-d}{c}$
5. Hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc một có dạng $y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ $(C)$
* Tập xác định : $R\{\frac{-e}{d}}$
* $y'= \frac{adx^2 + 2aex + be - ce}{(dx+e)^2}$
$y'=0 <=> adx^2 + 2aex + (be - ce)=0$ (1)
- Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thì (C) có một cực đại và một cực tiểu
- Nếu (1) vô nghiệm thì (C) không có cực trị
- Nếu (1) có nghiệm kép thì (C) thành hàm số suy biến thành hàm số bậc nhất, đồ thị là đường thẳng
* Tiệm cận đứng: $x= \frac{-e}{d}$
Ta có thể viết về dạng $y= ax+b + \frac{K}{dx+c}$
- Nếu K khác 0 thì (C) có tiệm cận xiên $y=ax+b$
- Nếu K=0 thì hàm số suy biến thành hàm bậc nhất
Trường hợp không suy biến thành hàm bậc nhất thì (C) được gọi là hypebol xiên, có tâm đối xứng là giao điểm I của 2 đường tiệm cận.
6. Hàm đa thức
Dạng tổng quát
(C): $y=a_n.x^n + a_{n-1}.x^{n-1} +....+ a_1x + a_0$ ( $a_n$ khác 0) là hàm số đa thức bậc n với $(n \epsilon Z^+)$
*Tập xác định :R
* y'= n.a_n.x^{n-1} + (n-1).a_{n-1}.x^{n-2}+…+a_1
y’=0 có thể có n-1 nghiệm phân biệt: Hàm số có thể có n-1 cực trị
* Không có tiệm cận
* Một số trường hợp có thể sử dụng
- Phép chia đa thức
- Phép đồng nhất
- Định lý viet cho phương trình đa thức
7. Các dạng khác hàm hữu tỉ
Có dạng (C): $y=\frac{P(x)}{Q(x)}$ với P(x) và Q(x) là các đa thức nguyên theo x
* Tập xác định: Tìm điều kiện thoả Q(x) khác 0
* $y'= \frac{P'(x).Q(x) - P(x).Q'(x)}{[Q(x)]^2}$
Tại $x_0$ mà hàm số đạt cực đại hay cực tiểu với y'=0 thì ta có $y_0 = \frac{P'(x_0)}{Q'(x_0)}$
* Tiệm cận:
- Tiệm cận đứng: $x=x_0$ (nếu có) thì $x_0$ là nghiệm của Q(x)=0 với ĐK: $P(x_0)$ khác 0
- Tiệm cận khác:
+ Nếu bậc $P(x)\leq$ bậc $Q(x)$ thì hàm số có tiệm cận ngang
+ Nếu bậc $P(x)$ = bậc $Q(x) +1$ thì hàm số có tiệm cận xiên
+ Nếu bậc $P(x)$ = bậc $Q(x) +k$ $(k\epsilon Z$ và $k \geq 2)$ thì hàm số có đường cong tiệm cận

haiyen

Đề thi ĐH năm ngoái

Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3}$
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung tại 2 điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại O

a.

b.
$y' = \frac{-1}{(2x+3)^2}<0 \forall x$ khác $\frac{-3}{2}$

Tam giác OAB cân khi hệ số góc tiếp tuyến bằng -1. Gọi toạ độ tiếp điểm $(x_0;y_0)$ ta có
$\frac{-1}{(2x_0+3)^2} = -1 <=> x_0 = -2$ hoặc $x_0 = -1$
Ta lập được hai tiếp tuyến
$y= -x$ (loại)
$y = -x -2$ (thoả)
Cách khác

: Gọi tiếp điểm toạ độ $(x_0;y_0)$ , lập phương trình tiếp tuyến tổng quát và tìm toạ độ A, B. Sử dụng điều kiện OA=OB để tìm $x_0$

alien_mars_3000 · « *Last Edit: 06 Tháng Hai, 2010, 06:41:17 PM by alien_mars_3000* »

Khảo sát hàm số...

alien_mars_3000 · « *Last Edit: 06 Tháng Hai, 2010, 06:41:47 PM by alien_mars_3000* »

Các vấn đề liên quan hàm số...

haiyen · « *Last Edit: 02 Tháng Ba, 2010, 09:27:48 PM by haiyen* »

Em hỏi bài này giải bằng cách nào cho hay nhất và ngắn gọn nhất ạ
$y= \frac{1}{3}.m.x^3 - (m-1)x^2 +3.(m-3)x + \frac{1}{3}$
Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+vô cùng)
Mod edit hộ em cái vô cùng

Ngoài cách dùng tam thức bậc 2

À, hỏi thêm

có phải chương trình mới cấm sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không ạ

alien_mars_3000

Quote from: haiyen on 02 Tháng Ba, 2010, 08:48:27 PM

Em hỏi bài này giải bằng cách nào cho hay nhất và ngắn gọn nhất ạ
$y= \frac{1}{3}.m.x^3 - (m-1)x^2 +3.(m-3)x + \frac{1}{3}$
Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+vô cùng)
Mod edit hộ em cái vô cùng
Ngoài cách dùng tam thức bậc 2
À, hỏi thêm có phải chương trình mới cấm sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không ạ

Sử dụng đạo hàm
$y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-1)=m(x^2-2x+3)+2x-9$
Hàm số đồng biến trên $(2,+\infty) \Leftrightarrow y'\geq 0 \forall x>2$
$\Leftrightarrow m\geq \frac{9-2x}{x^2-2x+3} (do x^2-2x+3>0)$
Đến đây khảo sát hàm số trên $(2,+\infty)$

alien_mars_3000

Quote from: haiyen on 02 Tháng Ba, 2010, 08:48:27 PM

À, hỏi thêm có phải chương trình mới cấm sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không ạ

Chương trình mới không được học định lí đảo của dấu tam thức bậc 2

chochum

Quote from: alien_mars_3000 on 02 Tháng Ba, 2010, 10:02:30 PM

Quote from: haiyen on 02 Tháng Ba, 2010, 08:48:27 PM
À, hỏi thêm có phải chương trình mới cấm sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không ạ
Chương trình mới không được học định lí đảo của dấu tam thức bậc 2

Cái này còn tùy , hôm trước cô giáo bảo là giờ vẫn cho dùng
p/s: nhưng mà cô còn hỏi là trường SP có học không để cô còn dạy nên nói chung là hình như có

bsb101

Câu I. http://math.vn (2 điểm)

Cho hàm số $y = \frac{3x - 1}{x - 1}$

1. Khảo sát vẽ đồ thị $( C )$

2. Tìm tọa độ hai điểm $B,C$ thuộc hai nhánh khác nhau của $(C)$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A( 2;1 )$

Bài khảo sát hàm số quan trong ở ý 2 như bài này này

alien_mars_3000

Quote from: bsb101 on 25 Tháng Ba, 2010, 12:55:32 PM

Câu I. http://math.vn (2 điểm)

Cho hàm số $y = \frac{3x - 1}{x - 1}$

1. Khảo sát vẽ đồ thị $( C )$

2. Tìm tọa độ hai điểm $B,C$ thuộc hai nhánh khác nhau của $(C)$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A( 2;1 )$

Bài khảo sát hàm số quan trong ở ý 2 như bài này này

Gọi $B(1-b,\frac{3b-2}{b})$ và $C(1+c,\frac{3c-2}{c})$ trong đó b, c>0 là 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thị
Thiết lập hệ.

tranquoc

Cho hàm số $y=x^3-3m^2x+2$ . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng $2x+y=0$

bsb101

Quote from: tranquoc on 03 Tháng Tư, 2010, 07:00:46 PM

Cho hàm số $y=x^3-3m^2x+2$ . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng $2x+y=0$

Cực đại cực tiểu đối xứng qua điểm uốn $(0;2)$ , mà điểm này không thuộc đường thẳng $2x+y=0$ nên không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bạn xem lại đề

alien_mars_3000

Quote from: bsb101 on 03 Tháng Tư, 2010, 09:21:39 PM

Quote from: tranquoc on 03 Tháng Tư, 2010, 07:00:46 PM
Cho hàm số $y=x^3-3m^2x+2$ . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng $2x+y=0$

Cực đại cực tiểu đối xứng qua điểm uốn $(0;2)$ , mà điểm này không thuộc đường thẳng $2x+y=0$ nên không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán Bạn xem lại đề

Nếu (0,2) mà thuộc đường thẳng đấy thì thỏa mãn với mọi m mất ạ?

bsb101

Quote from: alien_mars_3000 on 03 Tháng Tư, 2010, 09:30:41 PM

Quote from: bsb101 on 03 Tháng Tư, 2010, 09:21:39 PM
Quote from: tranquoc on 03 Tháng Tư, 2010, 07:00:46 PM
Cho hàm số $y=x^3-3m^2x+2$ . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng $2x+y=0$

Cực đại cực tiểu đối xứng qua điểm uốn $(0;2)$ , mà điểm này không thuộc đường thẳng $2x+y=0$ nên không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán Bạn xem lại đề
Nếu (0,2) mà thuộc đường thẳng đấy thì thỏa mãn với mọi m mất ạ?

Đó là với bài này . Quan trọng là điểm uốn lại không phụ thuộc vào m , nên mới có tính chất này

Hic , mình quên mất 2 điểm cùng 1 nmp

sorry

Author Topic: Khảo sát hàm số (Read 63994 times)

{S}trange{R}

Khảo sát hàm số

haiyen

Re: Khảo sát hàm số

haiyen

Re: Khảo sát hàm số

alien_mars_3000

Re: Khảo sát hàm số

alien_mars_3000

Re: Khảo sát hàm số

haiyen

Re: Khảo sát hàm số

alien_mars_3000

Re: Khảo sát hàm số

alien_mars_3000

Re: Khảo sát hàm số

chochum

Re: Khảo sát hàm số

bsb101

Re: Khảo sát hàm số

alien_mars_3000

Re: Khảo sát hàm số

tranquoc

Tìm m hay

bsb101

Re: Khảo sát hàm số

alien_mars_3000

Re: Khảo sát hàm số

bsb101

Re: Khảo sát hàm số