Please login or register.

Login with username, password and session length

Author Topic: Khảo sát hàm số  (Read 54662 times)

05 Tháng Hai, 2010, 12:38:40 PM
  • Trưởng BQL ĐVTT
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 295
  • Điểm bài viết: 72
  • Noh's
Thảo luận các vấn đề về khảo sát hàm số nhé ;)
@ Đây là bsb101 :D

Những vấn đề cơ bản thì mọi người xem Hải Yến tóm tắt ở dưới , mình chỉ nói về 1 phương pháp biện luận mà mọi người hay quên (có mình :D ) , đó là cách tính tham số m theo ẩn x và đưa về khảo sát hàm số  m theo x ;) (mình gọi là thế ;) )

Biện luận theo m để phương trình có nghiệm trên khoảng (a,b) , hoặc hàm số đồng biến trên (a;b)

Cách 1: Đưa về phương trình bậc hai , hoặc khảo sát hàm số thông thường :D

-Cách này cần xét khá nhiều trường hợp ; nhưng khi kết luận thì kết quả thường có sự trùng lặp ; khá dài và dễ sai ;)

Cách 2: Dồn ẩn , tính tham số theo ẩn
-Sau khi đưa về biện luận phương trình ,thường khi tham số m chỉ là bậc nhất  ;) , dồn ẩn x và tính m theo x để khảo sát hàm số đó trên (a;b) , lập miền giá trị của m

Ví dụ: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

x^4 -(m-1)x^2 +3x^2 -(m-1)x +1 =0 (phương trình đối xứng bậc 4 quen thuộc :D )

Giải: Theo Cách 2:Đưa về pt bậc 2 ẩn t=x+ \frac{1}{x}  (với |t| \ge 2 )

t^2 - (m-1)t +1 =0
Phương trình <=> m= t+ \frac{1}{t}\ +1
Đặt f(t) =t+ \frac{1}{t}\ +1

f'(t) = 1-\frac{1}{t^2}\ >0 với mọi t \ge ; t\le -2 => hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (-\inft;-2] va [2;\inft)
Lập bảng biến thiên ; được miền giá trị của m .
Tính f(-2) = -\frac{3}{2} ; f(2) =\frac{7}{2}
=> m\ge \frac{7}{2} hoặc m\le \frac{-3}{2}

Theo Cách 1 (của lớp 9) pt:  t^2 - (m-1)t +1 =0 với |t| \ge 2 (*)

\Delta =(m-1)^2 -4 \ge 0<=> m\ge 3 or m\le -1

Xét 2 trường hợp
TH1 \frac{m-1}{2}\ge 2 hoặc \frac{m-1}{2}\le -2 <=> m\ge 5 ; m\le -3

Khi đó đồ thị hàm số có đỉnh ngoài (-2;2) ; \Delta >0 => pt luôn có nghiệm t thỏa mãn  (*)

TH2: -2\le\frac{m-1}{2}\le 2 Lập bảng biến thiên trên (-\inft;-2] va [2;\inft)
Tính f(-2)=2m+3 ; f(2) = 7-2m

Để pt có nghiệm thì \left[\begin{2m+3<0}\\7-2m<0\<br /><=>\left[\begin{m\le -\frac{3}{2}\\m\ge \frac{7}{2}

Nhận xét nè Cách 1 quen từ hồi lớp 9 nên nhiều khi quen tay làm theo ; gặp những bài dài và mệt thì không ổn lắm . Lớp 12 nên làm theo cách 2 ;) .Hôm sau có thêm ví dụ :D

 
« Last Edit: 06 Tháng Hai, 2010, 11:01:54 AM by bsb101 »

05 Tháng Hai, 2010, 09:45:44 PM
Reply #1
  • Team OCR
  • Thành viên OlympiaVN
  • **
  • Posts: 498
  • Điểm bài viết: 77
  • ^^!
Em cũng đang học phần này nên tham gia với nhé ;))
 
Một số kiến thức cơ bản trước mà ai cũng biết :l>
Khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, tiến hành các bước
- Tìm tập xác định
- Nêu tính chất đặc biệt của hàm số (nếu có) như: hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.
- Xét sự biến thiên của hàm số:
 + Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số
 + Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
 + Lập bảng biến thiên: Gồm:  tìm đạo hàm, xét dấu, ......
- Vẽ đồ thị:
 + Vẽ hệ trục toạ độ Đề các vuông góc
 + Xác định các điểm đặc biệt: cực trị, điểm uốn, giao điểm với Ox, Oy
 + Vẽ các đường tiệm cận, trục đối xứng (nếu có)
 + Dựa vào bảng biến thiên và các điểm, đường đã xác định để vẽ đồ thị.
---> Nhận xét về đồ thị :D
 
Một số hàm số thường gặp
1. Hàm số y= ax^2 + bx + c (a khác 0)
* Tập xác định :R
* Đồ thị là một (P) có đỉnh S(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}) , trục đối xứng (d): x= -\frac{b}{2a}
* Ngoài ra có thể gặp các hàm số đưa về hàm số bậc 2 :D
2. Hàm số y= ax^3 + bx^2 +cx + d = 0 (a khác 0 )        (C)
* Tập xác định :R
* y' = 3ax^2 + 2bx + c
 -Nếu \Delta' = b^2-3ac > 0 thì có một cực đại và một cực tiểu
 -Nếu \Delta' = b^2-3ac \leq 0 thì (C) không có cực trị
* y'' = 6ax + 2b => Đồ thị có điểm uốn I với x_1 = -\frac{b}{3a} Đây chính là tâm đối xứng của đồ thị :)
* Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị
3. Hàm bậc 4 trùng phương có dạng: y=ax^4 + bx^2 + c =0 (a khác 0)       (C)
* Tập xác định :R
Hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng
* y'= 2x(2ax^2 + b)
   y'' = 12ax^2 + 2b
Nếu ab>0 thì hàm số có một cực trị tại x=0 và không có điểm uốn
Nếu ab<0 thì hàm số có 3 cực trị tại x=0, x= sqrt{-\frac{b}{2a}}, x= -sqrt{-\frac{b}{2a}}  và có 2 điểm uốn tại x = sqrt{\frac{-b}{6}}x = -sqrt{\frac{-b}{6}}
4. Hàm số nhất biến có dạng y=\frac{ax+b}{cx+d}         (H)
a)  Nếu c = 0 và d khác 0 thì (H): y = \frac{ax+b}{d} là đường thẳng
b) Nếu c khác 0 thì hàm số (H): y=\frac{ax+b}{cx+d}
* Tập xác định : R\{-\frac{d}{c}}
* y' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}
 - Nếu ad-bc khác 0 thì (H) có tiệm cận ngang y=\frac{a}{c} và tiệm cận đứng x=-frac{d}{c}
 Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận I(-\frac{d}{c};\frac{a}{c})
 - Nếu ad-bc = 0 thì (H) là đường thẳng khuyết:
 y=\frac{a}{c} (hay \frac{b}{d} với x khác \frac{-d}{c}
5. Hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc một có dạng y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}           (C)
* Tập xác định : R\{\frac{-e}{d}}
* y'= \frac{adx^2 + 2aex + be - ce}{(dx+e)^2}
   y'=0 <=> adx^2 + 2aex + (be - ce)=0        (1)
- Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt x_1x_2 thì (C) có một cực đại và một cực tiểu
- Nếu (1) vô nghiệm thì (C) không có cực trị
- Nếu (1) có nghiệm kép thì (C) thành hàm số suy biến thành hàm số bậc nhất, đồ thị là đường thẳng
* Tiệm cận đứng: x= \frac{-e}{d}
Ta có thể viết về dạng y= ax+b + \frac{K}{dx+c}
- Nếu K khác 0 thì (C) có tiệm cận xiên y=ax+b
- Nếu K=0 thì hàm số suy biến thành hàm bậc nhất
Trường hợp không suy biến thành hàm bậc nhất thì (C) được gọi là hypebol xiên, có tâm đối xứng là giao điểm I của 2 đường tiệm cận.
6. Hàm đa thức
Dạng tổng quát
(C): y=a_n.x^n + a_{n-1}.x^{n-1} +....+ a_1x + a_0  (a_n khác 0) là hàm số đa thức bậc n với (n \epsilon Z^+)
*Tập xác định :R
* y'= n.a_n.x^{n-1} + (n-1).a_{n-1}.x^{n-2}+…+a_1
   y’=0 có thể có n-1 nghiệm phân biệt: Hàm số có thể có n-1 cực trị
* Không có tiệm cận
* Một số trường hợp có thể sử dụng
- Phép chia đa thức
- Phép đồng nhất
- Định lý viet cho phương trình đa thức
7. Các dạng khác hàm hữu tỉ
Có dạng (C): y=\frac{P(x)}{Q(x)} với P(x) và Q(x) là các đa thức nguyên theo x
* Tập xác định: Tìm điều kiện thoả Q(x) khác 0
* y'= \frac{P'(x).Q(x) - P(x).Q'(x)}{[Q(x)]^2}
Tại x_0 mà hàm số đạt cực đại hay cực tiểu với y'=0 thì ta có y_0 = \frac{P'(x_0)}{Q'(x_0)}
* Tiệm cận:
- Tiệm cận đứng: x=x_0 (nếu có) thì x_0 là nghiệm của Q(x)=0 với ĐK: P(x_0) khác 0
- Tiệm cận khác:
 + Nếu bậc P(x)\leq bậc Q(x) thì hàm số có tiệm cận ngang
 + Nếu bậc P(x) = bậc Q(x) +1 thì hàm số có tiệm cận xiên
 + Nếu bậc P(x) = bậc Q(x) +k (k\epsilon Zk \geq 2) thì hàm số có đường cong tiệm cận

05 Tháng Hai, 2010, 10:16:31 PM
Reply #2
  • Team OCR
  • Thành viên OlympiaVN
  • **
  • Posts: 498
  • Điểm bài viết: 77
  • ^^!
Đề thi ĐH năm ngoái :D
Cho hàm số y=\frac{x+2}{2x+3}
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung tại 2 điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại O

a. :D
b.
y' = \frac{-1}{(2x+3)^2}<0 \forall x khác \frac{-3}{2}
 
Tam giác OAB cân khi hệ số góc tiếp tuyến bằng -1. Gọi toạ độ tiếp điểm (x_0;y_0) ta có
\frac{-1}{(2x_0+3)^2} = -1 <=> x_0 = -2 hoặc x_0 = -1
Ta lập được hai tiếp tuyến
y= -x (loại)
y = -x -2 (thoả)
Cách khác :D : Gọi tiếp điểm toạ độ (x_0;y_0), lập phương trình tiếp tuyến tổng quát và tìm toạ độ A, B. Sử dụng điều kiện OA=OB để tìm x_0

06 Tháng Hai, 2010, 03:39:12 PM
Reply #3
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 449
  • Điểm bài viết: 49
    • A3's blog
Khảo sát hàm số...
« Last Edit: 06 Tháng Hai, 2010, 06:41:17 PM by alien_mars_3000 »

06 Tháng Hai, 2010, 03:40:17 PM
Reply #4
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 449
  • Điểm bài viết: 49
    • A3's blog
Các vấn đề liên quan hàm số...
« Last Edit: 06 Tháng Hai, 2010, 06:41:47 PM by alien_mars_3000 »

02 Tháng Ba, 2010, 08:48:27 PM
Reply #5
  • Team OCR
  • Thành viên OlympiaVN
  • **
  • Posts: 498
  • Điểm bài viết: 77
  • ^^!
Em hỏi bài này giải bằng cách nào cho hay nhất và ngắn gọn nhất ạ
 y= \frac{1}{3}.m.x^3 - (m-1)x^2 +3.(m-3)x + \frac{1}{3}
 Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+vô cùng)
Mod edit hộ em cái vô cùng :l>
Ngoài cách dùng tam thức bậc 2 @-)
À, hỏi thêm :D có phải chương trình mới cấm sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không ạ :-/
« Last Edit: 02 Tháng Ba, 2010, 09:27:48 PM by haiyen »

02 Tháng Ba, 2010, 10:00:29 PM
Reply #6
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 449
  • Điểm bài viết: 49
    • A3's blog
Em hỏi bài này giải bằng cách nào cho hay nhất và ngắn gọn nhất ạ
 y= \frac{1}{3}.m.x^3 - (m-1)x^2 +3.(m-3)x + \frac{1}{3}
 Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+vô cùng)
Mod edit hộ em cái vô cùng :l>
Ngoài cách dùng tam thức bậc 2 @-)
À, hỏi thêm :D có phải chương trình mới cấm sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không ạ :-/
Sử dụng đạo hàm
y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-1)=m(x^2-2x+3)+2x-9
Hàm số đồng biến trên (2,+\infty) \Leftrightarrow y'\geq 0 \forall x>2
\Leftrightarrow m\geq \frac{9-2x}{x^2-2x+3} (do x^2-2x+3>0)
Đến đây khảo sát hàm số trên (2,+\infty)

02 Tháng Ba, 2010, 10:02:30 PM
Reply #7
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 449
  • Điểm bài viết: 49
    • A3's blog
À, hỏi thêm :D có phải chương trình mới cấm sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không ạ :-/
Chương trình mới không được học định lí đảo của dấu tam thức bậc 2

02 Tháng Ba, 2010, 10:10:11 PM
Reply #8
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 35
  • Điểm bài viết: 3
  • 3 năm cấp 3+4 năm đại học.........dài:(
À, hỏi thêm :D có phải chương trình mới cấm sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không ạ :-/
Chương trình mới không được học định lí đảo của dấu tam thức bậc 2

Cái này còn tùy , hôm trước cô giáo bảo là giờ vẫn cho dùng
p/s: nhưng mà cô còn hỏi là trường SP có học không để cô còn dạy nên nói chung là hình như có

25 Tháng Ba, 2010, 12:55:32 PM
Reply #9
  • Mod Toán Học
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 547
  • Điểm bài viết: 57
  • Offline ...
Câu I. http://math.vn  (2 điểm)

Cho hàm số y = \frac{3x - 1}{x - 1}

1. Khảo sát vẽ đồ thị ( C )

2. Tìm tọa độ hai điểm B,C thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A( 2;1 )

Bài khảo sát hàm số quan trong ở ý 2 như bài này này :D :D

25 Tháng Ba, 2010, 04:29:44 PM
Reply #10
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 449
  • Điểm bài viết: 49
    • A3's blog
Câu I. http://math.vn  (2 điểm)

Cho hàm số y = \frac{3x - 1}{x - 1}

1. Khảo sát vẽ đồ thị ( C )

2. Tìm tọa độ hai điểm B,C thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A( 2;1 )

Bài khảo sát hàm số quan trong ở ý 2 như bài này này :D :D
Gọi B(1-b,\frac{3b-2}{b})  C(1+c,\frac{3c-2}{c}) trong đó b, c>0 là 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thị
Thiết lập hệ.

03 Tháng Tư, 2010, 07:00:46 PM
Reply #11
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 89
  • Điểm bài viết: 8
Cho hàm sốy=x^3-3m^2x+2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng2x+y=0

03 Tháng Tư, 2010, 09:21:39 PM
Reply #12
  • Mod Toán Học
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 547
  • Điểm bài viết: 57
  • Offline ...
Cho hàm sốy=x^3-3m^2x+2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng2x+y=0

Cực đại cực tiểu đối xứng qua điểm uốn (0;2) , mà điểm này không thuộc đường thẳng 2x+y=0 nên không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán :D Bạn xem lại đề :D

03 Tháng Tư, 2010, 09:30:41 PM
Reply #13
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 449
  • Điểm bài viết: 49
    • A3's blog
Cho hàm sốy=x^3-3m^2x+2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng2x+y=0

Cực đại cực tiểu đối xứng qua điểm uốn (0;2) , mà điểm này không thuộc đường thẳng 2x+y=0 nên không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán :D Bạn xem lại đề :D
Nếu (0,2) mà thuộc đường thẳng đấy thì thỏa mãn với mọi m mất ạ?

03 Tháng Tư, 2010, 09:32:32 PM
Reply #14
  • Mod Toán Học
  • MODERATOR
  • ****
  • Posts: 547
  • Điểm bài viết: 57
  • Offline ...
Cho hàm sốy=x^3-3m^2x+2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng2x+y=0

Cực đại cực tiểu đối xứng qua điểm uốn (0;2) , mà điểm này không thuộc đường thẳng 2x+y=0 nên không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán :D Bạn xem lại đề :D
Nếu (0,2) mà thuộc đường thẳng đấy thì thỏa mãn với mọi m mất ạ?

Đó là với bài này . Quan trọng là điểm uốn lại không phụ thuộc vào m , nên mới có tính chất này

Hic , mình quên mất 2 điểm cùng 1 nmp :D sorry :D