Please login or register.

Login with username, password and session length

Author Topic: Phương pháp giải một số phương trình vô tỉ  (Read 48087 times)

27 Tháng Ba, 2008, 11:27:51 PM
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 732
  • Điểm bài viết: 30
  • Hà Mã Olym
Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

Dạng 1: Phương trình
\sqrt{f(x,m)}=\sqrt{g(x,m)}
<=> f(x,m)=g(x,m)\geq0
<=>\left{\begin{x\in D}\\{x,m)=g(x,m)

Dạng 2: phương trình:
\sqrt{f(x,m)}=g(x,m)
<=>\left{\begin{g(m,x)}\geq0}\\{f(x,m)=g^2(x,m)
( g(x,m) phải có nghĩa)

Dạng 3: Phương trình:
\sqrt{f(x,m)}+\sqrt{g(x,m)}=\sqrt{h(x,m)}
<=>\left{\begin{f(x,m)\geq0}\\{g(x,m)\geq0}\\{f(x,m)+g(x,m)+2\sqrt{f(x,m).g(x,m)}=h(x,m)
(f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa)

Ví dụ minh hoạ :
VD1: tìm m để pt sau có nghiệm:
\sqrt{-x^2+3x-2}=\sqrt{2m+x-x^2}
LG:
Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng:
-x^2+3x-2=2mx+x-x^2\geq0
<=>\left{\begin{x^2+3x-2\geq0}\\{x=m+1} <=>\left{\begin{1\leq x\leq2}\\{x=m+1
Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:
1\leq m+1\leq2<=>o\leq m\leq1
« Last Edit: 28 Tháng Ba, 2008, 03:28:08 AM by vigro_luv_olim »

02 Tháng Tư, 2008, 01:45:10 AM
Reply #1
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 732
  • Điểm bài viết: 30
  • Hà Mã Olym
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ - dạng 1:

Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một ohương trình với một ẩn phụ

Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

* Nếu bài toán chứa sqrt{f(x)} và f(x), có thể đặt t=sqrt{f(x)} , điều kiện tối thiểu t\geq0 , khi đó f(x)=t^2
* Nếu bài toán chưa sqrt{f(x)},sqrt{g(x)} sqrt{f(x).g(x)}=k( k=const) có thể: đặt t=sqrt{f(x)}, điều kiện tối thiểu t\geq0, khi đó sqrt{g(x)=\frac{k}{t}
* Nếu bài toán chứa sqrt{f(x)},sqrt{g(x)},sqrt{f(x).g(x)} và f(x)+g(x)=k (k=const), có thể : đặt t=sqrt{f(x)}+sqrt{g(x)}, khi đó sqrt{f(x).g(x)} =\frac{t^2-k}{2}
* Nếu bài toán chứa sqrt{a^2=x^2} có thể đặt x=|a|sint với \frac{-\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2} hoặc t=|a|cost với 0\leq t\leq\pi
* Nếu bài toán chưa sqrt{x^2+a^2} có thể đặt x=|a|tant với t\in(\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})hoặc đặt x=|a|cotx với t\in(0;\pi)
* Nếu bài toán chứa sqrt{\frac{a+x}{a-x}} hoặc sqrt{\frac{a-x}{a+x}} có thể đặt x=acos2t
* Nếu bài toán chứa sqrt{(x-a)(b-x)} có thể đặt x=a+(b-a)sin^2t

Chú ý:
Vơí các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng pp đặt ẩn phụ, nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.
Để tìm Đk đúng cho ẩn phụ đối vơícác phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các pp sau:
- Sử dụng tam thức bậc 2,ví dụ:
t=sqrt{x^2-2x+5}=sqrt{(x-1)^2+4}\geq2.
- Sử dụng BĐT,ví dụ:
t=sqrt{3+x}+sqrt{6-x}
t^2=(sqrt{3+x}+sqrt{6-x})^2=3+x+6-x+2sqrt{(3+x)(6-x)}\geq9 =>t\geq3sqrt{2}
Vậy Đk cho ẩn phụ là : 3\leq t\leq3sqrt{2]
-Sử dụng đạo hàm


                                                          Ví dụ

VD1: GPT: sqrt{x^2-3x+3}+sqrt{x^2-3x+6}=3
Đặt t=x^2-3x+3, ta có:
t=(x-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}
do đó điều kiện cho ẩn phụlà t\geq\frac{3}{4}
Khi đó phương trình có dạng :
sqrt{t}+sqrt{t+3}=3  <=>t+t+3+2sqrt{t(t+3)}=9 <=> sqrt{t(t+3)}=3-t
<=>\left{\begin{3-t\geq0}\\{t(t+3)=(3-t)^2
<=>\left{\begin{t\leq3}\\{t=1
<=> t=x^2-3x+3=1
Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2

VD2:GPT: 2\sqrt[n]{(1+x)^2+3\sqrt[n]{(1-x^2)}+\sqrt[n]{(1-x)^2}=0       (1)

Nx: x^2=1 không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho \sqrt[n]{1-x^2}được

(1)<=>\sqrt[n]{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt[n]{\frac{1-x}{1+x}}+3=0                                                (2)
Đặt t=\sqrt[n]{\frac{1+x}{1-x}} , khi đó
(2) <=> 2t+\frac{1}{t}+3=0 <=>2t^2+3t+1=0 <=>t=-1 hoặc t=-1/2

Bây giờ xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên bị loại. Vậy pt vô nghiệm.
TH2: Nếu n lẻ
Với t=-1 <=>\frac{1-x}{1+x}=-1 ( vô nghiệm)
Với t=-1/2 <=>\frac{1-x}{1+x}=\frac{-1}{2^n} <=> x=\frac{1+2^n}{1-2^n}
Vậy...


Bài tập tương tự: Giải các pt sau:

a>x+\frac{x}{sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}
b>Giải và biện luận pt :sqrt{x}+sqrt{4-x}=m
c> x^3+sqrt{(1-x^2)^3}=x sqrt{2(1-x^2)}
« Last Edit: 03 Tháng Tư, 2008, 02:01:24 AM by vigro_luv_olim »

03 Tháng Tư, 2008, 02:22:15 AM
Reply #2
  • OLYMPIAN
  • **
  • Posts: 732
  • Điểm bài viết: 30
  • Hà Mã Olym
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ - dạng 2:


Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình mới với k ẩn phụ.
Trong hệ mới thì k-1 phương trình nhận được từ các mỗi liên hệ giữa các đại lượng tương ứng. Chẳng hạn :
\sqrt[m]{a-f(x)}+\sqrt[m]{b+f(x)}=c
ta có thể đặt \left{\begin{u=\sqrt[m]{a-f(x)}\\{v=\sqrt[m]{b+f(x)}
suy ra u^m+v^m=a+b
Khi đó ta thu được hệ phương trình :  \left{\begin{u^m+u^n=a+b}\\{u+v=c



Ví dụ: \sqrt[3]{2-x} = 1-sqrt{x-1}

Giải: Đk:x\geq1
đặt : \left{\begin{u=\sqrt[3]{2-x}\\{v=\sqrt{x-1
v\geq0 => u^3+v^2=1
Khi đó pt được chuyển thành hệ:
\left{\begin{u^3+v^2=1}\\{u+v=1
giải ra được u\in({0,1,-2}) hay x\in({2,1,10})

Bài tập tương tự: Giải các pt sau:
a>\sqrt[3]{9-x}=2-sqrt{x-1}
b> Giải và biện luận : sqrt{x}+sqrt{4-x}=m

13 Tháng Một, 2010, 08:27:49 PM
Reply #3
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 35
  • Điểm bài viết: 3
  • 3 năm cấp 3+4 năm đại học.........dài:(

23 Tháng Một, 2010, 10:58:07 PM
Reply #4
  • Thành viên mới
  • *
  • Posts: 17
  • Điểm bài viết: -2